Easykpss İle Her şey Kolay

Modüler Aritmatik Ders Notu

MODÜLER ARİTMETİK

Bu ders notumuzda YGS, LYS, KPSS, DGS, SBS ve daha bir çok sınavda karşımıza çıkan Matematik Modüler Aritmatik konusunun geniş konu anlatımını, konun önemli yerlerini bulabilirsiniz.

a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,

MODÜLER ARİTMETİK

b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}

bir denklik bağıntısıdır.

b denklik bağıntısı olduğundan

Her (a, b) Î b için,

a º b (mod m)

biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.

Ü

Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar, 0, 1, 2, 3, 4, … , (m – 1) dir.

Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları

Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve  biçiminde gösterilir.

Buna göre,

Ü	n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve      a ºb (mod m)      c º d (mod m) olmak üzere,

1. a + c º b + d (mod m)
2. a – c º b – d (mod m)
3. a × c º b × d (mod m)
4. aⁿ º bⁿ (mod m)
5. a – b º 0 (mod m)
6. k × a º k × b (mod m) dir.
7. n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise  dir.
8. a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere,  dir.

deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.

Ü	Ü x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise,      xm–1 º1 (mod m) dir.x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.
Ü	x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılmış hâli m = ak . b r . c p olmak üzere,

m asal sayı ise,      (m – 1)! + 1º 0 (mod m) dir.